3.2.Кривые роста и их свойства

Кривые роста, описывающие закономерности развития явлений во времени, получают путем аналитического выравнивания временных рядов. Они представляют од — нофакторные модели прогнозирования; фактором выступа — ет время.

Выравнивание ряда с помощью тех или иных функций в большинстве случаев оказывается удобным средством описания эмпирических данных, характеризующих развитие во времени исследуемого явления. Использованию кривых роста должен предшествовать содержательный анализ явления с целью выяснения возможности экстраполирования тенденций.

Кривые роста часто используются в исследовании динамики реальных процессов различной природы. Они применяются при анализе миграционных процессов в человеческом и биологических сообществах

Аналитическое выравнивание состоит из следующих этапов:

выбор типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения временного ряда;

определение численных значений (оценивание) параметров кривой.

Найденная функция позволяет получить выравненные уровни ряда. Выбор типа кривой предполагает знакомство с основными видами кривых и изучение их основных свойств. Основной интерес представляют преобразования приростов, которые можно представить в виде линейной функции. Эти характеристики используются при выборе вида кривой роста.

Основные типы кривых роста подробно описаны и иллюстрированы графически в монографии Е. М. Четырки — на (9):

Полиномы (многочлены).

Экспоненты.

Логистические кривые.

Общий вид многочлена:

yt= а0 + ajt + a2t2 +. + aktk, (3-1)

где Оо, ct/, a2. — параметры многочленов, t — независимая переменная, к — показатель степени многочлена. Параметры полиномов невысоких степеней могут быть интерпре — тированы в зависимости от содержания ряда динамики. Их можно характеризовать как. параметр ао — уровень ряда при t= 0, параметр а> — скорость роста, параметр а2 — уско-рение роста, параметр аз — изменение ускорения.

Действительно, полином первой степени на графике представляет прямую, т. е. предполагается постоянство приростов ординат.

yt = a0+a1i, (3.2)

у,(0)=а0,

цт=yt — уы=Эо+ajt — Эо — ajt +al = al ^const.

и!» = О

Линейная зависимость может иметь место в процессах экстенсивного развития, однако это не может происходить в течение длительного периода. Со временем скорость изменяется и либо происходит ускорение, либо спад.

Полином второй степени характеризует динамику с равномерными приростами, положительными для одной ветви параболы и отрицательными для другой. Легко показать, что приросты (первые конечные разности ординат параболы) могут быть охарактеризованы уравнением прямой:

ut(1)=yt — yt_j= a0+ajt +a2t2 — a0 — a^ + a1-a2(t-l)2=(a1-a2)+2a2t.

Соответственно приросты второго порядка (вторые разности) постоянны:

Парабола второй степени применима для описания процессов, характеризующихся равноускоренным ростом или равноускоренным снижением. Если параметр а2>0, то ветви направлены вверх, функция имеет минимум. Если а2

У параболы третьей степени знак прироста ординат может меняться один или два раза. Первые разности орди — нат при нанесении на график представляют собой ординаты параболы второго порядка, т. е.

utm = (а1-а2+а3) + (2а2 — 3a3)t + 3a3t2. Вторые разности изменяются линейно:

ut(2) = (2а2 — 6а3) + 6a3t.

Разности третьего порядка являются постоянными:

м/3) = 6а3.

Простая экспоненциальная кривая является показа-тельной функцией и имеет следующий вид:

yt=ab\ (3.3)

Кривая характеризуется постоянными темпами роста и прироста. Темп роста будет равен аЪ* ,

тр = = b = const, темп прироста равен

аЪг — аЪг

г = -— = b -1 = const. Ьсли о >1, то функция явля-

пр ab

ется возрастающей с ростом t и убывающей при Ъ

После обозначения a = log а и /? = log b получаем: log yt = a + pt.

Экспоненциальный характер наблюдается после достижения определенного уровня присуще многим процессам при достижении определенного уровня

Логарифмирование обеих частей выражения приводит к виду:

log^ =loga + dog6 + ^2logc,

называемому логарифмической параболой.

Темп прироста этой кривой равен отношению первой производной к ординате (7, с.24). Поэтому темп прироста примет вид:

„ у’ ab’c’2 \nb + 2b’c’2t\nc. 7 „ ,

тпр = —^ = 1пЪ + 2Ппс,

yt ab’c’

т. е. темп линейно зависит от времени.

Многочлены не имеют асимптот, а экспоненциальная и логарифмическая параболы имеют асимптоты. У экс-поненциальной кривой —» 0 при t —> — оо, если Ъ> 1, и

yt —» О при 7 —» оо, если й

Достаточно часто динамика социально — экономических процессов такова, что наблюдается тенденция замедления темпов роста и имеет место насыщение. Например, расходы домохозяйств на продукты питания по мере роста доходов характеризуются насыщением. В таких случаях кривая должна иметь асимптоту, отличную от нуля. Такому условию удовлетворяет модифицированная экс-понента. имеющая вид:

yt=k + ab’. (3.5)

Кривая отличается от обычной экспоненты сдвигом по оси ординат на величину к, поэтому имеет горизонтальную асимптоту у = к. ее линия стремится к асимптоте либо при t —» оо, либо при t —» — оо. Параметр а равен разности между ординатой кривой (при t = 0) и асимптотой. Если параметр а отрицателен, то асимптота находится выше кривой, если а положителен, то асимптота проходит ниже ее. Параметр b равен отношению последовательных при-ростов. Чаще всего встречается кривая с параметрами а

Особенность модифицированной экспоненты заключается в том, что отношения последовательных приростов при равномерном распределении ординат по оси времени постоянны:

ut и,

ок + аЬ’)-(к + аЬ

b = const

ut ut ut (к + аЪ* 1)-(к + аЪ< 2)

h 2 л—1 v ‘ v ‘

А логарифмы приростов ординат кривой линейно зависят от переменной t. Действительно,

ut=yt-yt — ^ab^ib-l).

Откуда

log ut = loga + log(6-l) + (^-l)log6.

В демографических расчетах и некоторых расчетах в области страхового бизнеса используется S — образная кривая, или кривая Гомперца:

(3.6)

Наибольшее применение находит кривая, у которой log а

Кривая Гомперца имеет особенность: отношение последовательных приростов ординат в логарифмах посто-янно. b = const.

log Ум = 1о§ а-(Ъм

Ъ1)

log^-logJVj log а • (b’ —

t-1 Логарифмирование выражения (3.5) приводит к известной модифицированной экспоненте: log^ = log? + 6’loga.

Для нахождения линейного преобразования характеристик приростов и уровней относительно t можно определить темп прироста с помощью производной:

kabb’\na\nb lt. 1

T «P= =

Логарифмирование полученного результата дает линейное выражение:

In г* = ln(ln а) + ln(ln V) +1 ¦ In b .

Если в модифицированной экспоненте (3.4) yt заменить обратной величиной —, то преобразованное выра-

жение дает логистическую кривую:

— = k + ab’ (3.7)

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида записывается в виде:

где е — основание натуральных логарифмов, /(t) — функция от t, например, /(/) = — at. Тогда

Если Ъ=1, а вместо основания натуральных логарифмов взять основание десятичных логарифмов и положить f(t) = a + bt, то получится логистическая кривая, центрально симметричная относительно точки перегиба:

yt 2 2 ‘ 1

При t — оо ордината стремится к нулю, а при t +оо ордината стремится к асимптоте. Если взять вторую производную от yt по времени для функции (3.8) и приравнять ее нулю, то местоположение точки перегиба кривой t = In b. а, в этой точке yt = к. 2? Преобразование приростов и ординат кривой, линейное относительно t, находится вычислением производной функции (3.8):

Полученное выражение легко приводится к линейному относительно t делением на yt2 и логарифмированием полученного результата:

ln^- = ln a-b-at.

Рассмотренные кривые могут описывать процессы технологического развития, расширения товарных рынков, реализации инвестиционных проектов.